Herramienta para calcular el término general de una progresión aritmética conociendo algunos datos de la misma. Rellena las casillas correspondientes a los datos que conozcas y pulsa “Calcular”:


Explicación:

Se llaman progresiones aritméticas a aquellas sucesiones de números en las que cada término se va obteniendo sumando una cantidad fija al anterior. Por ejemplo,

6, 8, 10, 12, 14, 16…     (vamos sumando 2)

15, 12, 9, 6, 3, 0, -3…    (vamos sumando -3)

A esa cantidad fija que sumamos se le llama diferencia y se le asigna la letra “d”. Así, en el primer ejemplo tenemos que d=2 y en el segundo d=-3.

El término que ocupa un lugar cualquiera n de la sucesión se llama an. Así, el término que ocupa el lugar 8 es el a8 y el término vigésimo es a20. El primer término es, por supuesto, a1.

Como a2=a1+d, a3=a1+d+d, a4=a1+d+d+d, etc, es fácil hallar el término general de una progresión aritmética si conocemos dónde comienza (a1) y cuánto sumamos cada vez (d), ya que partiendo de a1, para llegar al término n tenemos que sumar (n-1) veces la cantidad d. Es decir, tenemos que:

an = a1 + (n – 1) · d

En el caso de que no nos den a1 y d, pero nos dan, por ejemplo, a8 y d, sustituyendo en la fórmula anterior podemos despejar a1. Si no nos dieran ni a1 ni d, sino que nos dan dos términos cualesquiera, por ejemplo, a6 y a15, sustituyendo en la fórmula anterior podemos plantear un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a1 y d) y calcularlas.

Suma de n términos de una progresión aritmética:

Si nos fijamos, en una progresión aritmética cualquiera, por ejemplo:

4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31…

la suma del primer término con el último es la misma que la del segundo con el penúltimo, e igual a la del tercero con el antepenúltimo, etc. En este ejemplo, (4 + 31) = (7 + 28) = (10 + 25) = … = 35, pero puedes comprobar que esto se cumple con todas las progresiones aritméticas, pongas los términos que pongas.
De este modo, si queremos sumar los anteriores números:

4 + 7 + 10 + 13 + 16 + 19 + 22 + 25 + 28 + 31

emparejandolos como hemos visto tenemos:

(4 + 31) + (7 + 28) + (10 + 25) + (13 + 22) + (16 + 19)

es decir:

35 + 35 + 35 + 35 + 35

No es difícil comprobar que tenemos que multiplicar 35 por el número de parejas que hemos hecho. En este caso, como queríamos sumar 10 términos, el número de parejas es 5. Si quisieramos sumar 200 términos, el numero de parejas sería 100 y, en general, si queremos sumar n términos, el número de parejas es n/2.
Por lo tanto, la suma de n términos de cualquier progresión aritmética será igual a la suma del primero con el último multiplicada por el número de parejas, lo que nos da la siguiente fórmula:


 

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Hay 189 comentarios

Páginas: [1] 2 »

  1. Lucía dijo:

    Tengo una pregunta: En un problema en el cual nos dan dos términos pero no nos dan a1 ni la diferencia, ¿como podríamos averiguarlos?

    Por ejemplo:
    En una progresión aritmética, a20=-30 y a12=-28. ¿Cuál es la diferencia y a1?

    Gracias 🙂

  2. da-beat dijo:

    Como pone en la explicación debajo del script, planteando un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (a1 y d) sustituyendo los valores de a12=-28 y n=12 en una ecuación, y a20=-30 y n=20 en la otra. Así hallas a1 y d.

  3. Jaime dijo:

    como hago para hallar esoo???
    calcular las longitudes de los lados de un triangulo rectángulo, sabiendo que sus medidas expresadas en cm, son números que están en P.A cuya diferencia es 7 ????????????????

  4. da-beat dijo:

    Jaime, si los lados del triángulo están en progresión aritmética, significa que el grande es 7 cm más largo que el mediano, y éste 7cm más largo que el pequeño. Si llamas “x” al del medio y lo piensas un poco, tendrás la solución. 🙂

  5. Andrea dijo:

    Hallar a1 en una progesión aritmética, sabien que a20= 100 y s20= 1050

  6. da-beat dijo:

    Andrea, sustituye los datos en la fórmula de la suma y despeja a1

  7. alejandro dijo:

    Si el octavo término de una progresión aritmética es 3 y el noveno término 1. El primer término de la progresión es: ?
    gracias por tu respuesta.

  8. Sara dijo:

    Tengo un problema que llevo horas tratando de resolver, te agradecería si pudieses explicármelo.

    Formar una Progresión geométrica de cinco términos de modo que la razón sea igual a 1/3 del 1° término y que la suma de los dos primeros términos sea 18.

  9. Jose Alberto dijo:

    Una pregunta como hago para hallar la RAZON si solo nos dan A9 – A7 = 10

  10. da-beat dijo:

    ¿Qué es la razón?

  11. jhchambic dijo:

    La razón es lo mismo que la diferencia.

    Y respondiendo a José Alberto, se utiliza lo siguiente:
    ax – ay = (x – y).r
    (r = razón o diferencia)

    Si te dan a9 – a7 = 10, despejando y reemplazando:
    r = (ax – ay)/(x – y)
    r = 10/2
    r = 2

  12. da-beat dijo:

    La razón no es lo “mismo” que la diferencia, es lo “equivalente” a la diferencia en las Progresiones Geométricas. Es decir, en las progresiones Aritméticas hay diferencia (el número que se suma para pasar de un término al siguiente) y en las progresiones Geométricas hay razón (el número por el que multiplicamos para pasar de un término al siguiente).
    Si empezamos en 1 y la Diferencia es 2, tenemos 1, 3, 5, 7, 9…
    Si empezamos en 1 y la Razón es 2 tenemos 1, 2, 4, 8, 16, 32…

  13. Enrique dijo:

    Me dan la sucesión: 1,4, 5, 9, 14….
    se ve que cada término excepto el primero es suma de los dos anteriores, pero me piden el término general, es decir saber el valor de cualquier elemento de la sucesión en base a su posición an= ? yo no la veo , ¿me puedes confirmar que es simplemente que no lo tiene ?
    Gracias

  14. da-beat dijo:

    Enrique, esa sucesión es una sucesión de Fibonacci. Tienes más información sobre ellas aquí.

  15. Enrique dijo:

    Gracias por la respuesta, me queda claro que es una sucesión de Fibonacci y que lo que preguntan (en el libro de mates de mi hijo) es decir el término general como tal no se aplica a estas sucesiones

  16. Nadia dijo:

    Hola, quisiera que me ayudaras con este ejercicio.
    la suma de 4 numeros enteros de un P.A. es de 24 y su producto 945, Hallar los numeros.

    Saludos.

  17. javier dijo:

    alguien me ayuda necesito resolver esta progresion aritmetica: si a1=-4 y a97=74. calcular: razon y S97. quien me ayuda con la formulas que necesito gracias.

  18. yesenia dijo:

    La suma de 4 términos de una PA es 24 y su producto es 945. Hallar los números

  19. yesenia dijo:

    Sea el conjunto  A= { ∈ ℕ /  ≤ 10} y sea R la relación definida de la siguiente forma:
    xRy= {(x, y) ∈ A × A/ x es divisor y}
    a) Hacer un Diagrama de Flechas y un Diagrama Cartesiano.
    b) ¿Qué tipo de correspondencia es? Justifique sus respuestas.
    c) Probar que propiedades cumple.
    d) Probar que es una relación de orden parcial.

  20. gustavo dijo:

    como se podría resolver esta progresión aritmética si solo tengo los siguientes datos:
    A1= 3X
    R= X+2 ?

  21. Marie dijo:

    si la suma de 10 términos es igual a 75 y el primero es igual a -15 sacar el valor del último ¿cómo podría sacar la razón?

  22. peter dijo:

    de que manera puedo resolver el sig. ejemplo:

    81, 27, 9, 3, 1 ………

    cual es la formula a aplicar????
    gracias

  23. mari dijo:

    como saco la razon si solamente me dan que an = 77 y a1 =7?

  24. dANIEL dijo:

    como se halla n gracias por la respuesta ??

  25. Matesfacil dijo:

    Ejercicios resueltos de progresiones

  26. Mayra dijo:

    Hola esto me vino en el exam y no logro hallar la respuesta.
    El producto del primer y quinto término de una progresión aritmética de términos positivos es 55. ¿Cuál es el tercer término si la razón es 1.5?
    Ayuda please!!

  27. loli dijo:

    como resuelvo?? halla a1 teniendo la diferenci d=3; la suma de a3 y a6=20
    gracias

  28. sofi4 dijo:

    respondiendo ah Mayra:
    t1=x r=1.5 t5=x+6 (multiplicas la razón por 4 )
    x(x+6)=55 X=5 Tn=T1+(tn-1)r T3=5+(3-1)1.5
    T3=8

  29. Alvaro Mendez dijo:

    Si d no es constante…ejm
    S=5+8+13+20+29+…+229
    ¿cúal sera la formula?
    responde por favor, me gusta tu pagina, gracias. (Y)

  30. Nuria dijo:

    Hola! Tengo una cuestion de mi clase de matematicas:
    En una progresion aritmetica, no te dan la progresion, pero te dicen que a1=4 y que a7=16, y hay que calcular la diferencia y S40, ¿como lo calculo si no tengo n ni an? responderme rapido, porfavor. Muchas gracias :)))

  31. Damaris dijo:

    necesito que me ayuden con este ejercicio

    1. Calcula la suma de los veinticinco primeros términos de la sucesión 2, 7, 12, 17, 22, …

    2. ¿Qué valor le corresponde al noveno término en la progresión 3, 9, 27, 81,…?

  32. bruno dijo:

    HOLA, me ayudas, por favor?
    Sea a1,a2,……; una progresion aritmetica si se sabe que a1+a4+a7+a10+a13+a16=714, entonces: ¿a que es igual: a1+a6+a11+a16?

  33. Patricia dijo:

    La suma de los términos de una P.G. decreciente y prolongada indefinidamente es el doble de la sumade los cinco primeros términos. Hallar la razón. Ayudennnnn 🙁

  34. pedro dijo:

    ayuda para resolver lo siguiente :

    una maquina cuesta $110000. cada año la empresa deprecia la maquina $15000 y su valor de rescate es de $35000 ¿ cual es la vida útil de la maquina?
    ayuda para solucionarlo con formula es una progresión aritmetica

  35. Jane Loor dijo:

    la suma de los 26 primeros terminos una progesion aritmetica es

    Urgente

  36. Julissa dijo:

    ayuda!!
    el primero y el ultimo termino de una progresion aritmetica suman 21. el mismo resultado se obtiene con la suma del tercero y el quinto termino. si la diferencia entre el ultimo y el penultimo termino es -1/2 ¿cuantos termino tiene la progresion? ¿cual es el valor del ultimo termino?
    URGENTE

  37. Eduardo dijo:

    Mi pregunta es la siguiente
    Averiguar el primer termino de la prograsion aritmetica si la suma de los primeros 5 es igual a 10 y el quinto es ygual a 13? muchas gracias

  38. Emily dijo:

    El cuarto numero de una sucesion aritmetica con d=3 y a20=100 es

  39. noemi dijo:

    en una progrecion aritmetica el quinto termino es 430 y el termino 50 es 70 encuentre el septimo termino

  40. daniel dijo:

    mi pregunta es
    el primer termino de una sucesion es x-2 y el quinto es x+30, encuentra el enesimo termino y el termino de la posicion a9

  41. cccccc dijo:

    Hallar k de modo que la progresión (8k+4);(6 k-2);(2k-7) sea aritmética

  42. jorge sanchez dijo:

    como se puede saber la diferencia de una sucesion aritmetica ,
    me dan que la formula es : an – an – 1 = d pero ola verdad no me sale la diferencia de ninguna sucesion.

  43. beth dijo:

    como se realiza este ejercicio
    el 5° termino de una progresion es 7 y el 7° termino 8 1/3, y debemos hallar el primer termino

  44. Daniela dijo:

    ¿como se halla el numero de terminos en una progresion aritmetica?
    por ejemplo:
    1; 5; 9;…57 ¿cuantos terminos hay?
    ¡ayuda porfavor!

  45. airam dijo:

    como se calcula el patron de la serie
    5, 13,24, 38, 55………..
    porfi……..expliqueme

  46. Monica dijo:

    no entiendo como hallar el numero de términos si solo me dan r=3 su primer termino es 6 y su ultimo termino es 123

  47. quintero dijo:

    quien me rresponde esto:
    encuentre x de modo que x+3; 2x+1 y 5x+2 sean terminos consecutivos de una sucesion aritmetica

  48. ana dijo:

    no se como aserlo el problema es el siguiente .la suma de los 20 primeros terminos de una progresion aritmetica si el tercero es 15 y el octavo es 35

  49. Estrella dijo:

    ME urgee!
    cual es el termino e-nésimo de:

    1 – x^2 + 2x^2 – 6x^3 + 24x^4 – 120x^5 . . .

  50. ismaelgutierrez dijo:

    La suma de los tres primeros términos de una progresión aritmética es 42. La suma de
    los tres últimos términos es 312 y la suma de todos los términos 1062. Hallar el número
    de términos de dicha progresión.

  51. Luichi dijo:

    como puedo hacer esto???
    El primer termino de una P.A. es 1 y el segundo termino es 2. La suma de todos los terminos es 210. Halla el numero de terminos de la progresion….

  52. axel dijo:

    el termino de posicion 17 de una P.A es 20 y el de posicion 8 es 2 hallar la razon no entiendo ayudame porfavor

  53. orliana dijo:

    hola buenas noches me han mandado unos ejercicios que no entiendo :
    el primero me manda a hallar el termino 12 de la p.a 5,10,15 y hallar la suma y si me podrias decir como hallo la razon. por favor no entiendo es urgente.
    gracias.

  54. Pablo dijo:

    determinar el décimo quinto término de una P.A. si la suma de ¨n¨ términos esta determinada por S=n(n+8) espero que me puedas ayudar gracias

  55. karen dijo:

    no se como hacer este problema de progresiones aritméticas viene en el libro de diaz mata pero no viene la respuesta….ayuda!!!!!!!!!

    t3=8 tn=9n=8 hallar d,, t1 y s8

  56. CECILIA dijo:

    tengo el siguiente problema:

    se lanza una pelota saltarina desde un edificio de 50 metros, la pelota llega al suelo a una distancia de 3 metros del edificio y da el primer bote. si se sabe que al tercer bote la pelota se encuentra a 5,25 metros del edificio ¿ cual sera la distancia que tendrá la pelota cuando de el quinto bote?

  57. gladis dijo:

    En una progresión geométrica, el primer término vale 8 y la razón 1/2. Hallar el producto de los 6 primeros términos.

  58. Claudia dijo:

    No entiendo que operación debo realizar si el problema dice:

    Que lugar ocupa 2014 en la siguiente sucesión ?
    5, 12, 19, 26,33.
    Se que el primer numero es 5 y la diferencia es 7, pero como hallo que posicion tiene 2014.
    Gracias

  59. roder dijo:

    calcula a para que los numeros consta 2a-1;3a+1;3a-2 sean terminos consecutivos de una progresion aritmetica…ayuda porfavor

  60. beatriz dijo:

    El producto del primer y quinto término de una progresión aritmética de términos positivos es 55. ¿Cuál es el tercer término si la razón es 1.5?

  61. Ug Ug dijo:

    ¿Que fórmula usaría para CALCULAR el valor XX?
    Yo he calculado a ojo que debe valer (11,75),
    -Pero ¿Con qué fórmula matemática obtendría ese mismo resultado?

    a: AAAAAAAAAAA le corresponde: BB
    a: 409600,0000 le corresponde: 13
    a: 204800,0000 le corresponde: 12
    a: 172215,5858 le corresponde: XX ??????
    a: 102400,0000 le corresponde: 11
    a: 051200,0000 le corresponde: 10
    a: 025600,0000 le corresponde: 09
    a: 012800,0000 le corresponde: 08
    a: 006400,0000 le corresponde: 07
    a: 003200,0000 le corresponde: 06
    a: 001600,0000 le corresponde: 05
    a: 000800,0000 le corresponde: 04
    a: 000400,0000 le corresponde: 03
    a: 000200,0000 le corresponde: 02
    a: 000100,0000 le corresponde: 01

  62. Ug Ug dijo:

    Encontré la fórmula: =(Logaritmo en base 2 de: (172215,5858/100))+1 = 11,75.

    De alguna manera intuía que el logaritmo es lo que se usa para saber cuantas veces hemos multiplicado un numero cualquiera (la base del logaritmo) por si mismo. Por ejemplo: 2x2x2x2x2x2=64…

    Si tenemos ese 64 y queremos saber cuantas veces tenemos que multiplicar 2 por si mismo para obtener 64, usaríamos el logaritmo de 64 en base 2 = 6.

    El logaritmo en base 2 pues, nos dice que tipo de raíz (cuadrada, cubica, a la 3, a la 4, etc.), deberíamos usar para aplicar a cierto numero con el fin de obtener como resultado el 2 (la base usada)
    …2 elevado a 6 nos da 64…

    Resumiendo: el logaritmo sirve para DESCUBRIR el valor del EXPONENTE.

  63. Brian Adams dijo:

    tengo un problema que dice:Maria estuvo comprando ciertas papa,durante 8 semanas ,en la 6ta semana compro 12/2kg.de papa y en la 7ma semana compro 13/2kg.¿cuantos kilos de papas compro maria la primera semana?¿cuanto es la razon de los kilos de papas que compro maria por semana?¿en la octava semana cuanto kilos fueron?

  64. Estela dijo:

    como hago para hallar los términos de una progresión aritmética o geométrica si me dan solo la suma de esos términos y el producto?????? salu2

  65. celeste dijo:

    hola necesito que me ayuden con esta progresión aritmética me dan el valor de a=5, r=4 y s=152 y necesito sacar el valor de L Y N como le hago?

  66. victoria dijo:

    la suma de los 4 primeros terminos de una P.A es 20 y la razón es 6 ¿cual es el primer termino?

  67. mirian dijo:

    me pueden ayudar con esto por favor…
    hallar el 30 termino de /4*16
    por favor nose como resolverlo

  68. camila dijo:

    como puedo sacar a1 y d si solo tengo a11=58 y a29=180

  69. camila dijo:

    como puedo sacar a1 y an si tengo a2=1/2 y a5=5/6

  70. marcela dijo:

    ifentifica cuales sucesiones son aritmeticas luego escribe los cinco primeros terminos de aquellas que lo sean
    1.an=2/n+2
    2.an=n+n/2
    3.an=-2/3(n-1)+2
    por favor pueden ayudarme

  71. emilce dijo:

    de una progresión aritmética se sabe que el primer termino es 13 y que la suma de los 12 primeros términos es igual a 4 veces la suma de los 5 primeros términos . hallar la diferencia de esta progresión
    ME AYUDAN

  72. Paula dijo:

    Tengo la siguiente progresion (1,7,5,19,…) cual seria la formula para esta progresion que es oscilante???? ayuda porfavor

  73. cristhian caceres dijo:

    Eh tratado de resolver este problema y no eh sido capaz , te agradeceria mucho que me ayudaras a solucionarlo.

    Hallar el numero de terminos de una progresion aritmetica si el primer termino es 11, la diferencia es -2 y la suma de todos sus terminos es -28

  74. ALEXANDRA RUIZ dijo:

    7. Determine la ecuación de la recta tangente a la circunferencia x
    2 + y2 + 4x + 6y – 7 = 0
    en el punto P (- 4, 1).

  75. daniela dijo:

    por favor como es que sacan el resultado cuando me dan por ejemplo a1=7 y a8=39, como sabemos que es d? (por favor explíquenme con ejemplos)… gracias 🙂

  76. Gimena dijo:

    Holaaa! necesito su ayuda por favor! como hago para hallar la posición de un término en particular si me dicen:
    indica la posición del término resaltado: (-43)
    71,65,59,……-43…
    Lo necesito urgentemente!!!!!!! Gracias.

  77. Bashir dijo:

    El 15° término de una progresión aritmética es 20 y la razón 2 . Hallar el 1er término.

  78. Jacqueline dijo:

    hola necesito ayuda como resolver este problema?. la suma de tres números geometricos es 93 pero ala vez se puede considerar a los números com el primero, segundo y septimo de una P.A

  79. sandy dijo:

    una pregunta
    calcular el 21avo termino en la siguiente progresion aritmetica y la suma del 21avo lugar :division 5;7;9:11…
    en una P.A de cinco terminos , el primer termino es 3 y su suma es 45 . calcule el sexto termino

  80. joules dijo:

    hola tengo una pregunta me podrían ayudar en un ejercicio de progresiones.
    hallar el tiempo que se empleara en saldar una deuda de 889 pesos pagando 25 pesos el primer mes, 27 pesos el segundo mes, 29 pesos el tercer mes, etc. y encontrar el ultimo monto de pago.

  81. emely dijo:

    no en ten di nadita algien me explica plissss

  82. ana dijo:

    hola tengo un problema me dieron un ejercicio y el profesor no save ni explicar y no puedo entender seguro es re facil pero no lo puedo resolver es logbase 2 (64.128)4 el cuatro esta esc en chico

  83. marcos dijo:

    Hola , un favor ayudeme en este ejercicio: “En 50 litros de agua agregamos 2 kilogramos de azucar, ¿cuantos litros de agua debemos adicionar para que cada litro tenga 25 gramos de azucar?”

  84. EPB dijo:

    Necesito ayuda con el siguiente problema:
    En una progresión aritmética de 12 términos, el primero y el doceavo suman 53 1/2. ¿Cúal es la suma del tercer y décimo terminos?…

  85. WALTER dijo:

    sumatoria de 4, 7, 12, 19, ………, 292

  86. Daniela dijo:

    Me pueden ayudar con este problema por favor :’D
    Si:
    S=3516 n=48 an=150
    Hallar a1 y d

  87. Kevin Amar dijo:

    Si el promedio de los siguientes números (2a +1); (2a +2);
    (2a+3);….; (5a – 2) es 20,5. Hallar el valor de “a”

  88. sara casal rey dijo:

    Pero si te manda calcular la diferencia y te dan el a1 y la S5 como lo calculas

  89. Jose dijo:

    Hola, como hago para resolver este ejercicio en donde me dan la sumatoria y el primer termino:
    Encuentre el valor de a30 que cumple con las condiciones dadas:
    a) S30= 1550 y a1=10

  90. maria jose dijo:

    hallar el termino 27º de 3enteros un medio,5enteros un cuarto

  91. Jose dijo:

    Como encuentro tres terminos que al sumarlo me den 24 y q su producto se 440 en una progresión sucesiva y que formula ocupo para encontrar los tres términos

  92. da-beat dijo:

    Los términos son (x-d), x, (x+d). Así planteas las ecuaciones.

  93. ALFREDO dijo:

    si me piden el termino 25 de la serie (x+y)+(2x)+3x-y), como lo puedo calcular

    tengo otro problema, me piden la suma de los primeros 20 terminos de la serie: -24+12-6+…………..

    me pueden ayudar?

  94. Mauricio dijo:

    tengo un problema con este ejercicio me podrian ayudar:
    una persona quiere cancelar su tarjeta de crédito y para eso tiene que pagar $16800. Escoge un plan de pago de 12 cuotas y la ultima que pagará será de $2500. Si la diferencia entre cada una de las cuotas sucesivas es constante, ¿cuanto tendra que pagar en la primera cuota?

  95. Bea dijo:

    Necesito ayuda llevo horas queriendo resolver este problema:
    -En una progresión aritmética el tercer termino es 4 y el veinte es 22. Encuentre el término a15

  96. abel dijo:

    10, 1, 20, 2, 30, 3, ….

  97. dora prada dijo:

    hola buen dia por favor alaguien que exlique como resolver una funcion cubica de esta manera (x-2)e3+3 por favor alguien que ayude… se los agradecere.

  98. luis fdo dijo:

    por favor ayudenme con esta progresion aritmetica
    (bonos de ahorro)el primer dia de noviembre de cada año una persona adquiere bonos que exede los adquiridos el año anterior en 50 .
    despues de 10 años el costo total de los bonos adquiridos fue de 4250
    calcule el valor de los bonos adquiridos.
    a) en el primer año
    b) en el septimo año

  99. Danue dijo:

    Necesito ayuda!!
    La suma del tercer y cuarto termino de una progresion aritmetica es 12 y el sexto termino es 1. Forme la progresion.

    Hasta donde se a6 = a1 + 5d… pero como hago para despejar a1??? si no se cual es la diferencia!!!!!!!

  100. carolina dijo:

    como se resuelve :
    inventar una sucesion aritmetica e indicar razon A1, A10 y la suma de los 20 primeros terminos? Ayuda

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