O aquellos otros en los que tenemos que olvidarnos de lo que sabemos y mirarlos de otra forma:

El problema que estos ejercicios suele estar en que no se busca que el lector (o el estudiante) encuentre la “lógica de formación” de la serie, sino la “lógica que siguió la persona que formó la serie”. Por ejemplo, en la siguiente serie:

lo “lógico” sería decir que el siguiente número es el 6, ya que y seguramente nos lo den por bueno. Si decimos que es el 14, nos dirán que es incorrecto. Sin embargo, 14 es el número que continúa esa serie si seguimos la siguiente fórmula:

Efectivamente, según esa fórmula, , ,… y . Por lo tanto, no se trata de encontrar “una” pauta, sino “la” pauta, que es la que el examinador (o quien sea) quiere que digamos. Es por esto que estos ejercicios no gustan a muchos profesores, porque da la impresión de que en vez de fomentar que el alumno piense por sí mismo, se fomenta que piense como nosotros queremos que piense. Para estos casos la mejor recomendación es hacer uso de la Navaja de Occam, que viene a decir que:

En igualdad de condiciones (es decir, si nada nos indica lo contrario), la respuesta más sencilla suele ser la correcta.

Fijáos que dice que “suele ser” la correcta, no que lo sea. En el anterior ejemplo, tanto el 6 como el 14 valen como respuesta (las dos siguen un patrón) pero, si no tenemos nada que nos haga pensar lo contrario, la respuesta más probable es que después de 1, 2, 3, 4, 5 viene el 6.

Pues bien, una vez aclarado esto, os lanzo un desafío. En el siguiente vídeo, el protagonista marca cinco puntos en un mapa y tiene que buscar un patrón para intentar averiguar cual será el siguiente punto. Su compañera no ve que los puntos sigan ningún patrón, pero él sí.

La pregunta es evidente: ¿Lo véis vosotros? ¿Cuál es? Os recuerdo que no se trata de encontrar un patrón cualquiera, sino el que dibuja el protagonista. Como ayuda, os diré 1) que la Navaja de Occam no sirve de mucho y 2) que os fijéis en el orden de los dos primeros puntos, es importante para dar con la respuesta correcta. Espero vuestros comentarios, animáos.

ACTUALIZACIÓN: Aquí está la respuesta al patrón. No os preocupéis si no disteis con la solución correcta… ¡no todo el mundo puede ser el héroe de una película de los años 60!

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(Foto de Verónica Mendoza)

Pero el post no es para quejarme de esta invisibilidad, sino para deciros que, por culpa de la misma, los que no tengáis acceso a La Razón Edición Castilla y León (versión papel) os habéis perdido el titular sobre el incendio (si yo no lo hubiera escaneado, claro está). Y es que dicho titular no tiene desperdicio. Mirad, mirad:

Así, una simple línea bajo la cabecera, sin foto ni nada, como intentando pasar desapercibida. Pero claro, ¿cómo va a pasar desapercibida una noticia de un incendio con ¡¡un radio de 60 km!!? Eso sería un diámetro de 120 km, cuando la distancia Norte-Sur de la provincia de León es de poco más de 100 km. La superficie de un incendio es irregular, pero si la aproximamos a un círculo, un radio de 60 km nos da un área de A = πR² = 3’14·60² = 11310 km² que, si la antigua equivalencia 1 km² = 100 Ha sigue siendo vigente, vienen siendo ¡más de un millón de hectáreas!

Parece mucho, así que abrimos el periódico y nos vamos a la página indicada, a ver si nos aclaran algo. Nos encontramos lo siguiente:

Algo falla. ¿Sólo 10.000 Ha? ¿Manteniendo el dato de 60 km de radio? Parece que no nos vamos a librar de leer la noticia entera, necesitamos más datos para saber qué está pasando aquí.

Afortunadamente, no tenemos que leer mucho para dar con la respuesta, la encontramos en el segundo párrafo. Parece ser que el señor J.M.S./Agencias tiene dificultades para distinguir el radio del perímetro. Vamos a ayudarle con este pequeño flash:

Efectivamente, el perímetro es más de 6 veces el radio (concretamente, 6’28 veces, 2π). Es increíble que en la misma página nos encontremos las palabras “radio” y “perímetro” como si fueran sinónimos, ya que se trata no de geometría básica, sino de vocabulario básico.

El de La Razón es el caso más exagerado (por venir en portada y poner las dos cosas a la vez), pero no el único. También en El Mundo se lían con ambos conceptos. Así, al leer la noticia, hablan de un “perímetro de 15 kilómetros”, cuando era de 60, aunque aquí no tengo claro si confunden el “perímetro” con el “radio” o con los “frentes de 15 kilómetros” de los que hablan en El País. En cualquier caso, espero que vosotros no tuviérais dudas o, en caso de que sí, espero que se os hayan despejado despues de leer esta entrada.

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Bien, pues si las superficies ya nos plantean tantas dificultades, imaginad el volumen. A ver, alguien que, mientras lea esto, se haga una imagen mental de unos 100 m³, o de 1 hectómetro cúbico (¿Son lo mismo?) Fijáos en el chiste de Forges publicado hace tiempo en “El País”:

“El País”, Lunes 8 de Agosto de 2005

Si el cubo es un Hectómetro cúbico, significa que mide un hectómetro de largo, otro de ancho y otro de alto, es decir, 100 metros por 100 metros por 100 metros. Si esto es así, el tipo de la viñeta, que aproximadamente mide la cuarta parte, mediría unos 25 metros de altura… lo cual me parece mucho para una persona.

Suponiendo que la persona de la viñeta midiera 2,5 metros (que ya es decir), en vez de los 25, el cubo sería un Decámetro cúbico, es decir, que el hectómetro cúbico serían nada menos que ¡1000 cubos! como el del dibujo. Casi nada. Ya véis, “un hectómetro cúbico” se dice rápido, pero es más grande de lo que pensábamos.

Ahora os voy a proponer un ejercicio mental: Imaginad que cogéis el carro de un supermercado (de los que dan calambre y siempre se desvían hacia un lado), y váis echando los productos de la siguiente lista. Tenéis que ir haciendo una estimación del volumen que ocupan, por si necesitaráis otro carrito. Aquí está la lista:

Un pack de 6 zumos de 200 ml.
Un zumo de 1 L.
Una botella de refresco de cola de 2 litros.
Una botella de agua de 1’5 L.
4 latas de 33 cl.
Una botella de 150 ml.
Una botella de cristal de 27’5 cl.
Otra lata de 33 cl.
Una bolsa de patatas fritas, de las de 170 gr. (las grandes)
Un bote de aceitunas de 150 gr.
Una bolsa de gominolas de 150 gr.
Una caja de Caldo para paellas.
Una caja de 4 barritas energéticas de 24 gr.
Otra barrita energética suelta.
Cuatro sobres de sopa de 125 gr.
Una bolsa de 45 gr. de cacahuetes con chocolate.
Una bolsa de alitas de pollo de 190 gr.
Una bolsa de snacks de 60 gr.
Una caja de 20 sobres de manzanilla.
Un bote de café molido de 100 gr.
Y un bote de mayonesa de 450 ml.

¿Qué tal ha ido? ¿Os ha llegado con un carro? ¿Os ha sobrado mucho? ¿Poco? ¿Habéis necesitado otro carro? ¿Otros dos? Pues esa es la lista de los productos que regala Marca en su nueva promoción y ésta es la foto del carro que les ha salido a ellos (o a sus publicistas): (Pica en ella para verla grande). Más o menos lo mismo que habíais pensado, ¿verdad?

Pues bien, todo ello es, por supuesto, completamente gratisasterico. Vale, tienes que juntar 15 cupones (15 periódicos) y pagar 6’95 € por gastos de distribución, pero sigue siendo gratis* (gratisasterisco, como dije) y, lo mejor de todo, NO ES publicidad engañosa, ya que hay leyes sobre ese tema y está prohibida (Ley 34/1988, de 11 de noviembre, General de Publicidad. Título II. Artículos 3b, 4 y 5).

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El anuncio mencionado, que tenían bien grande en la ventana de la oficina, es el que podéis ver aquí al lado, y la duda del ti Joaquín, sencilla: “¿cómo es posible que te cobren un 230% menos?”. La respuesta también es sencilla: “No es posible”.

Al principio, por tratarse de un anuncio, pensé que había truco, que algún asterisco en algún lado nos aclararía algo el dato, pero no. El único asterisco hace referencia a que los datos proceden de las estadísticas del Banco de España. He buscado dichas estadísticas pero, o no existen o no son públicas. En la página web del Banco de España hay muchas estadísticas, pero no se citan entidades. Concretamente, en las estadísticas sobre comisiones, que incluyen, por ejemplo, las comisiones en las Tarjetas de crédito por Disposición de efectivo en cajeros de la propia red, sólo se incluyen valores mínimos, máximos y medios, pero no se cita en ningún momento el nombre de ninguna entidad. Así que no sé en qué datos se basan para decir que cobran un 230% menos.

Descarté también el error tipográfico, ya que el mismo anuncio se emitía en radio y televisión:

De modo que está bien claro lo que dicen: “hasta un 230% menos en comisiones”. Veamos entonces cuánto deberían cobrarnos. Supongamos, para hacer las cuentas sencillas, que la competencia cobra un euro de comisión, que pondremos en céntimos para que sean 100. Entonces, un 20% son 20 céntimos, un 50% son 50 céntimos y un 37% son 37 céntimos. Sencillo, ¿verdad? Pues bien, un 50% menos es la mitad menos, así que nos cobrarían 50 céntimos. Un 80% menos es un descuento de 80 céntimos y nos cobrarían 20. Un 100% menos, sería el total menos, es decir, que no nos cobrarían nada. Y, efectivamente, un 230% menos son 230 céntimos menos, es decir, 2’30€ menos (Recordemos que la competencia cobraba 1 euro). Si hacéis la cuenta, la única manera de que esto sea posible es que nos paguen 1’30€, en vez de cobrarnos.

Podéis ir a la oficina y preguntar si os dan dinero por las comisiones. Ya os adelanto yo la respuesta: NO. De modo que el anuncio es, sencillamente, mentira. O eso, o el nivel de matemáticas de los banqueros ha decaído tanto que ya no entienden ni los tantos por ciento y han puesto “230% menos que la competencia” donde deberían decir que “la competencia cobra un 230% más que ellos”. Puestos a elegir, da menos miedo que los bancos te mientan a que no entiendan un tanto por ciento, ya que tendemos a tener más miedo a lo desconocido que a lo normal. Aún así, si algún banquero o publicista me da una mejor explicación, estoy muy interesado.

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Un mal cálculo. Lo peor de todo es que uno no puede pensar que fue un error intencionado como otras veces (ya sabéis, el típico “siempre se equivocan en su favor”), porque se han equivocado en su contra, excepto claro está, que sea un ardid muy bien pensado para sacar algo más de pasta: “decimos que nos equivocamos en las cuentas y que les dimos más dinero del que les correspondía”. Por otro lado, vemos en el subtitular que el caso es a dos bandas ya que, a su vez, otros ex empleados denuncian que cobraron menos de la cuenta. Vamos, que el error fue grande.

A mi me llama la atención que admitan errores en las cuentas y reclamen dinero, y que otros tengan que denunciar por su parte que cobraron menos. Lo lógico sería anunciar que se habían hecho mal los cálculos y a unos se les había pagado de más y a otros de menos. Claro, a ver ahora cómo se libran de la denuncia en contra, porque alegar que me equivoqué en un caso y en otro no… sería un poco sospechoso.

En cualquier caso, yo me he asustado. Y mucho. Eso de pensar que los que manejan el dinero se equivoquen en las cuentas… no sé, pero me hace perder la confianza en ellos. Claro, podía ser un caso puntual, todo el mundo se equivoca alguna vez y no pasa nada, pero ese (I) que puse en el titular os hará pensar que no es tan puntual, ¿verdad? Pues en unos días volvemos con ello.

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¡Qué casualidad! ¡Su cumpleaños es el mismo día que el de otro compañero! Parece muy poco probable, entre 365 días del año, que coincidan los cumpleaños de dos personas el mismo día, pero la verdad es que es más probable que ocurra a que no ocurra, si el grupo tiene más de 23 personas. Si el grupo es de 25 personas, la probabilidad de que haya dos personas que cumplan años el mismo día es del 57%. Si el grupo es de 30 personas, esa probabilidad sube al 71%, y si tenemos 35 personas, al 81’5%. Es decir, en un grupo de 35 personas, la probabilidad de que dos de ellas cumplan años el mismo día es del 81’5%, mientras que la probabilidad de que todos tengan cumpleaños diferentes sólo es del 18’5%.

¿Cómo es posible? Pues es una cuestión de probabilidades: La primera persona, puede nacer cualquier día, nunca va a coincidir con nadie. Tiene entonces, 365 opciones de 365. La segunda, en cambio, ya solo tiene 364 posibilidades si no quiere coincidir con el primero. El tercero tendrá 363 de los 365 días del año para elegir. El cuarto solo 362 y así sucesivamente. La persona número 30, como ya habrá 29 fechas ocupadas, tendrá libres 336 días de los 365 para no coincidir con ningunos de los demás. Si calculamos esta probabilidad, la de que todos cumplan años en fechas distintas, tenemos que es el producto de las 30 fracciones:

que da, aproximadamente, 0’29. Por lo tanto, si las probabilidades de que no coincidan cumpleaños son del 29%, la probabilidad de que coincida alguno es del 71%, que no es tan pequeña para que nos sorprenda tanto.

Ya véis, las probabilidades tienen estas cosas, pero como no saberlas no es problema en la sociedad, si alguien se sorprende por algo que es normal, nadie se da cuenta. Si alguien dijera, por ejemplo, “¡Anda! Romeo y Julieta también lo escribió Shakespeare, el mismo de Hamlet. ¡Qué casualidad!”, ¿pasaría lo mismo?

Por eso seguimos creyendo en la suerte, las casualidades y demás explicaciones a hechos “sorprendentes” que las matemáticas ya explican bastante bien.

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Y otro para calcular el primer número primo después de un número dado. Por ejemplo, ¿cuál es el primer número primo después de 100?

Se dice que un número es primo cuando sus únicos divisores son él mismo y la unidad. Por ejemplo 5, 7 y 23 son primos. El número 18, en cambio, es compuesto, ya que tiene más divisores (1, 2, 3, 6, 9 y 18).

Se puede hacer una lista de números primos con la llamada Criba de Eratóstenes, que consiste en tachar todos los múltiplos de 2 (ya que serán compuestos al ser el 2 un divisor). Después tachamos todos los múltiplos de 3 (por lo mismo). El 4 estará tachado, así que lo saltamos. El 5 está sin tachar, así que tachamos todos los múltiplos de 5. Continuamos este proceso, tachando los múltiplos de los números que no estén tachados. Los números que “sobreviven” a esta criba son los números primos. Los primeros son:

Para saber si un número es primo, lo vamos dividiendo por 2, 3, 5… hasta que encontremos una división exacta, en cuyo caso el número sería compuesto, o bien hasta que el cociente de la división sea menor que el divisor. Si hemos llegado a este punto sin encontrar ninguna división exacta, el número dado es primo.

Ejemplos:
El número 49: Dividimos por 2 y no es exacta. Dividimos por 3 y tampoco. Por 5 tampoco. Por 7 sí es exacta, luego el número 49 no es primo, es divisible por 7.
El número 53: Dividimos por 2 y no es exacta, Por 3 tampoco, ni por 5 ni por 7. Dividimos entre 11 y tampoco es exacta, pero hemos llegado a que el cociente, 4, es menor que el divisor, 11, por lo que el número 53 es primo.

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